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    Roman Surface

    Example plot

    Example plot

    Alternate name

    Steiner surface

    Equations

    x(u, v) = a sin(u) cos(u) sin^2(v) y(u, v) = a sin(u) sin(v) cos(v) z(u, v) = a cos(u) sin(v) cos(v)

    x^2 y^2 + x^2 z^2 - x y z + y^2 z^2 = 0

    Surface properties

    4

    ds^2 = 1/16 a^2 (-8 cos^2(2 u) cos(2 v) - 2 sin^2(2 u) cos(4 v) + 3 cos(4 u) + 5) du^2 + a^2 sin(4 u) sin^3(v) cos(v) du dv + 1/16 a^2 (cos(4 u) (cos(4 v) - 1) + 7 cos(4 v) + 9) dv^2

    dA = 1/16 a^2 sqrt(-128 cos^2(2 u) cos^3(2 v) + cos(4 u) (36 cos(4 v) + 25) - 6 sin^2(2 u) cos(8 v) + 28 cos(4 v) + 39) du dv

    x^_ = (0, 0, 0)

    V = a^3/6

    I = (a^2/10 | 0 | 0 0 | a^2/10 | 0 0 | 0 | a^2/10)

    K(u, v) = (256 (-4 cos^2(2 u) cos^2(2 v) - sin^2(2 u) cos(v) (cos(v) + 3 cos(3 v))))/(a^2 (cos(4 u) (5 cos(4 v) + 3) + sin^2(2 u) (13 cos(2 v) + 3 cos(6 v)) + 11 cos(4 v) + 13)^2)

    Metric properties

    g_(uu) = 1/16 (-8 cos^2(2 u) cos(2 v) - 2 sin^2(2 u) cos(4 v) + 3 cos(4 u) + 5) g_(uv) = 1/2 sin(4 u) sin^3(v) cos(v) g_(vu) = 1/2 sin(4 u) sin^3(v) cos(v) g_(vv) = 1/16 (cos(4 u) (cos(4 v) - 1) + 7 cos(4 v) + 9)

    Γ | u | | | uu = (8 sin(4 u) sin^2(v))/(cos(4 u - 2 v) + cos(4 u + 2 v) - 2 cos(4 u) - 2 cos(2 v) - 6) Γ | u | | | uv = (2 cot(v) (cos(4 u - 2 v) + cos(4 u + 2 v) - 2 cos(4 u) - 2 cos(2 v) - 2))/(cos(4 u - 2 v) + cos(4 u + 2 v) - 2 cos(4 u) - 2 cos(2 v) - 6) Γ | u | | | vu = (2 cot(v) (cos(4 u - 2 v) + cos(4 u + 2 v) - 2 cos(4 u) - 2 cos(2 v) - 2))/(cos(4 u - 2 v) + cos(4 u + 2 v) - 2 cos(4 u) - 2 cos(2 v) - 6) Γ | u | | | vv = -(4 sin(4 u) cos(2 v))/(cos(4 u - 2 v) + cos(4 u + 2 v) - 2 cos(4 u) - 2 cos(2 v) - 6) Γ | v | | | uu = -(4 sin(2 v) (cos(4 u - 2 v) + cos(4 u + 2 v) - 2 cos(4 u) + 2 cos(2 v) + 2))/(cos(4 u - 4 v) + cos(4 (u + v)) - 2 cos(4 u) + 14 cos(4 v) + 18) Γ | v | | | uv = (8 sin(4 u) sin^2(2 v))/(cos(4 u - 4 v) + cos(4 (u + v)) - 2 cos(4 u) + 14 cos(4 v) + 18) Γ | v | | | vu = (8 sin(4 u) sin^2(2 v))/(cos(4 u - 4 v) + cos(4 (u + v)) - 2 cos(4 u) + 14 cos(4 v) + 18) Γ | v | | | vv = -(4 (cos(4 u) + 7) sin(4 v))/(cos(4 u - 4 v) + cos(4 (u + v)) - 2 cos(4 u) + 14 cos(4 v) + 18)

    E(u, v) = 1/16 a^2 (-8 cos^2(2 u) cos(2 v) - 2 sin^2(2 u) cos(4 v) + 3 cos(4 u) + 5) F(u, v) = 1/2 a^2 sin(4 u) sin^3(v) cos(v) G(u, v) = 1/16 a^2 (cos(4 u) (cos(4 v) - 1) + 7 cos(4 v) + 9)

    e(u, v) = -(2 a sin(2 u) sin^2(v) (cos(v) + 3 cos(3 v)))/sqrt(-16 cos(4 u) sin^4(v) (3 cos(2 v) + 1) + 13 cos(2 v) + 22 cos(4 v) + 3 cos(6 v) + 26) f(u, v) = (8 a cos(2 u) sin(v) cos(2 v))/sqrt(-16 cos(4 u) sin^4(v) (3 cos(2 v) + 1) + 13 cos(2 v) + 22 cos(4 v) + 3 cos(6 v) + 26) g(u, v) = (8 a sin(2 u) cos(v))/sqrt(-16 cos(4 u) sin^4(v) (3 cos(2 v) + 1) + 13 cos(2 v) + 22 cos(4 v) + 3 cos(6 v) + 26)

    Vector properties

    left double bracketing bar x(u, v) right double bracketing bar = 1/4 a sin(v) sqrt(-2 cos(4 u) sin^2(v) + 7 cos(2 v) + 9)

    N^^(u, v) = (-(2 csc(v) sin(4 v))/sqrt(26 + 13 cos(2 v) + 22 cos(4 v) + 3 cos(6 v) - 16 cos(4 u) (1 + 3 cos(2 v)) sin^4(v)), (-(cos(u) + 3 cos(3 u)) sin(v) + 4 cos^3(u) sin(3 v))/sqrt(26 + 13 cos(2 v) + 22 cos(4 v) + 3 cos(6 v) - 16 cos(4 u) (1 + 3 cos(2 v)) sin^4(v)), (-sin(u) sin(v) + 3 sin(3 u) sin(v) + 4 sin^3(u) sin(3 v))/sqrt(26 + 13 cos(2 v) + 22 cos(4 v) + 3 cos(6 v) - 16 cos(4 u) (1 + 3 cos(2 v)) sin^4(v)))

    Properties

    algebraic surfaces | closed surfaces | nonorientable surfaces | quartic surfaces | Steiner surfaces

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